∀X,ℱ∀F1,F2∈2^X(F1∩F2∈⟨ℱ⟩X⇒F1,F2∈⟨ℱ⟩X)

$ \forall X,\mathcal F\forall F_1,F_2\in2^X:F_1\cap F_2\in\lang\mathcal F\rang_X\implies F_1,F_2\in\lang\mathcal F\rang_X

$ \because\forall X,\mathcal F\forall F_1,F_2\in2^X:

$ F_1\cap F_2\in\lang\mathcal F\rang_X

$ \iff F_1\cap F_2\in2^X\land\exist F\subseteq F_1\cap F_2:F\in\mathcal F

$ \iff F_1,F_2\in2^X\land\exist F\subseteq F_1\cap F_2:F\in\mathcal F

$ \because F_1,F_2\in2^X

$ \iff F_1,F_2\in2^X\land\exist F_1'\subseteq F_1\exist F_2'\subseteq F_2:F_1'\cap F_2'\in\mathcal F

$ \implies\begin{dcases}F_1\in2^X\land\exist F\subseteq F_1:F\in\mathcal F\\F_2\in2^X\land\exist F\subseteq F_2:F\in\mathcal F\end{dcases}

$ \underline{\iff F_1,F_2\in\lang\mathcal F\rang_X\quad}_\blacksquare